Zápočtový úkol 1

Newton-Raphsonova metoda 2D - soustava dvou nelineárních rovnic.

Úkol - zápočet 1

Pomocí Newton-Raphsonovy metody najděte řešení soustavy nelineárních rovnic:

\[\begin{split} \begin{align} 0 &= f_1(x,y) = x^{2} + 4x - y^2 - 2y - 1, \\ 0 &= f_2(x,y) = x^{2} + 2x + 5y - 4. \end{align} \end{split}\]

Vykreslete obě zadané funkce a vyznačte nalezený kořen. Jaký je celkový počet řešení?

Nalezněte všechny řešení soustavy. Vykreslete tyto řešení spolu se zadanými funkcemi.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import fsolve

Definice funkcí a jejich derivací

Tip

K sestavení matice \(\mathbb{J}\) je potřeba spočítat parciální derivace obou funkcí podle \(x\) a \(y\). To je možné, stejně jako jsme viděli u 1D Newtonovy metody, buď analyticky nebo pomocí konečné diference.

## DOPLŇTE ##

Analýza soustavy funkcí

Tip

Pro analýzu soustavy rovnic můžete například použít funkce contour(), consourf() nebo plot_surface() z knihovny matplotlib.pyplot.

K vykreslení nulových bodů jedné funkce lze nastavit parametry levels=0, colors='b' ve funkci contour().

## DOPLŇTE ##

Implementace metody Newton-Raphson ve 2D

## DOPLŇTE ##

Analýza konvergence

Vykreslete závislost chyby na počtu iterací (zvolte logaritmickou škálu pro osu \(y\) - hodnotu chyby).

# ověření konvergence
## DOPLŇTE ##

Vizualizace řešení

Do stejného grafu ze sekce analýzy funkcí zakreslete jednotlivé řešení.

## DOPLŇTE ##