Zápočtový úkol 10

Zápočtový úkol 10#

Při splnění všech podúloh tohoto započtového úkolu bude počítáno jako splnění 2 započtových úloh! Pro splnění tohoto zápočtového úkolu (počítán jako 1 splněný úkol) stačí správně vyřešit jednu z podúloh.

Úkol - zápočet 10

Pomocí metody střelby řešte okrajovou úlohu střelby na cíl v homogenním gravitačním poli Země. Uvažujte tření dělové koule ve vzduchu a působení gravitace země ve tvaru:

m \ddot{\vec{r}} = - m \vec{g} - \frac{1}{2} C ρ S {\vec{v}}^{2},

kde $\vec{v} = \dot{\vec{r}}$ . Pro jednoduchost zvolte $C = ρ = S = g = m = 1$ .

Okrajové podmínky jsou následující:

\vec{r} (0) = [x_{0}, y_{0}] = [a, 0], \vec{r} (T) = [x_{T}, y_{T}] = [b, 0],

tedy v čase $t = 0$ se dělová koule nachází v poloze $[a, 0]$ , v čase $T$ dopadne po výstřelu zpět na zem v místě $[b, 0]$ .

Tip

Předchozí úlohu je výhodné řešit v následujícím tvaru soustavy čtyř ODR (kde místo dvou složek rychlostí máme velikost rychlosti a úhel $θ$ aktuálního směru pohybu vůči ose $x$ ):

\begin{array}{r} \begin{aligned} \dot{x} & = v \cos θ, \dot{v} = - \frac{1}{2} v^{2} - g \sin θ, \\ \dot{y} & = v \sin θ, \dot{θ} = - \frac{g}{v} \cos θ, \end{aligned} \end{array}

s okrajovými podmínkami:

x (0) = a, y (0) = 0, x (T) = b, y (T) = 0.

Implementujte metodu střelby pro předchozí úlohu (můžete se inspirovat cvičením) a využijte ji v následujících podúlohách:

Vyřešte úlohu pro následující parametry: $a = 0, b = 2, T = 1$ .
- To odpovídá otázce: “Jaký má být úhel náklonu děla a síla výstřelu tak, aby koule zasáhla cíl za dobu $T = 1$ ?”
- V této podúloze bude funkce $F (β)$ vektorem dvou funkcí! Hledáme kořeny soustavy dvou rovnic! (můžete využít například funkce scipy.optimize.newton())
Řešte stejnou úlohu, ale tentokrát doba zasažení cíle může být libovolná a navíc máte podmínku $v (0) = 2$ .
- Pokud nás nezajímá, kdy zasáhneme cíl, podmínka $\vec{r} (T) = [x_{T}, y_{T}] = [b, 0]$ ve skutečnosti odpovídá jen jedné podmínce $y (T) = 0$ , kde čas $T$ je daný vztahem $x (T > 0) = b$ (koule doletěla do vzdálenosti cíle). Tedy pro jednoznačnost potřebujeme další podmínku (počáteční rychlost).
- Zde tedy nemáme přesně daný integrační interval $[0, T]$ , musíme tedy v každém kroku kontrolovat zda $x (t) \geq b$ .
- Odpovídá otázce: “Jaký má být úhel náklonu děla, abych při síle výstřelu $v (0) = 2$ koule zasáhla cíl?”
Najděte hodnotu $θ (0) = θ_{0}$ tak, aby počáteční rychlost koule $v (0) = v_{0}$ byla co nejmenší a cíl byl stále zasažen (v libovolném čase).
- hledejte náklon děla v intervalu $θ (0) \in [0.01, \frac{π}{2}]$
- Uvědomte si, že řešením podúlohy 3 získáváte pomyslný vztah (funkci): $v_{0} \to θ_{0}$ ( $G (v_{0}) = θ_{0}$ ). Tedy pro určitou počáteční rychlost dostaneme náklon děla $θ_{0}$ takový, že je zasažen cíl za určitý čas $T = T (v_{0})$ (ten závisí na volbě počáteční rychlosti).
- Stačí formulovat funkci $G^{- 1} (θ_{0}) = v_{0}$ analogicky dle podúlohy 3 a nalézt minimum (využijte vhodné knihovní funkce z modulu scipy.optimize).

Vždy vykreslete výsledné řešení na intervalu $[a, b]$ pro každou podúlohu.

## DOPLŇTE ##